RESOLVIENDO DESIGUALDADES CUADRÁTICAS

Para resolver desigualdades de la forma ax2 + bx + c >< 0, encontramos primero las raíces del término cuadrático y luego generamos una tabla de signos.

EJEMPLO A: Resolver x2 + 5x + 6 > 0

Las raíces del término cuadrático son –2 y –3. Con éstas se construye una tabla de signos.

Para obtener el signo de cada intervalo, basta con sustituir cualquier número dentro del intervalo en el término cuadrático, y trasladar su signo a la tabla. Por ejemplo, para obtener el signo del intervalo ]–3, –2[ sustituimos cualquier número dentro de este intervalo, por ejemplo x = –2.5. Al sustituir, obtenemos: (–2.5)2 + 5(–2.5) + 6 = –0.25. Como el signo del resultado es negativo, trasladamos un signo negativo a la tabla.

Con la tabla como base, notamos que la desigualdad original exige escoger todos aquéllos intervalos con resultados mayores o iguales a cero (porque x2 + 5x + 6 > 0; nótese que se pide mayor o igual a cero). Por lo tanto, el conjunto solución sería: ]–¥ , –3] È [–2, +¥ [.

EJEMPLO B: Resolver –2x2 + 9x – 5 > 0

Las raíces del término cuadrático son 0.65 y 3.85. Con éstas se construye una tabla de signos.

Con la tabla como base, notamos que la desigualdad original exige escoger todos aquéllos intervalos con resultados mayores que cero (porque –2x2 + 9x – 5 > 0; nótese que se pide mayor que cero). Por lo tanto, el conjunto solución sería: ]0.65, 3.85[.

EJERCICIOS:

Encontrar el conjunto solución de las siguientes desigualdades:

1) –x2 + 6x + 40 > 0 ] -4, 10 [

2) 6x2 – 5x – 6 > 0 ]-oo, -0.67] U [ 1.5, +oo[

3) –10x2 – 11x – 3 < 0 ]-oo, -0.6[ U ]-0.5, +oo[

4) –8x2 + 14x + 15 > 0 [-0.75, 2.5]

5) –3x2 + 11x + 5 < 0 ]-oo, -41] U [4.08, +oo[