Matemáticamente hablando, la distribución normal estándar es la función de densidad,
cuya gráfica es la curva en forma de campana que se bosqueja a continuación.
El área sombreada nos recuerda que P(Z>za)=a. Algunos valores específicos de esta relación se dan en la siguiente tabla en la que a es el área a la derecha de za ó a la izquierda de -za.
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a |
0.1 |
0.05 |
0.01 |
0.005 |
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za |
1.28 |
1.645 |
2.33 |
2.575 |
Debido a la simetría, el área bajo cada mitad de la curva es 0.5. Además, si X es una variable aleatoria distribuida normalmente con media m y desviación estándar s, entonces P(a<X<b) = P((a-m)/s < Z < (b-m)/s).
EJEMPLO A |
Calcular P( –1.645 < Z < 1.645). Solución: Recordamos que la probabilidad es el área bajo la curva desde -1.645 hasta 1.645. De acuerdo con la tabla el área a la izquierda de -1.645 es la misma que a la derecha de 1.645 o sea es a = 0.05. Por lo tanto, la probabilidad pedida sería el área total menos ambos extremos, es decir 1 – 0.05 -0.05= 0.90.
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EJEMPLO B |
La longitud L del largo del brazo derecho de un Tutsi tiene una distribución normal con m = 60 cms. y s = 5 cms. Encontrar el porcentaje de la población que tiene un brazo derecho más largo de 71.65 cms.
Solución: Se nos pide P(L> 71.65). Estandarizando tendríamos P(L> 71.65)= P(Z> (71.65-60)/5)=P(Z> 2.33)=0.01. Por lo tanto, solo el 1% de los Tutsis tiene el brazo derecho más largo de 71.65 cms.
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EJERCICIOS: Calcular las siguientes probabilidades. 1) P(Z > –2.575) 2) P(Z < –1.28) 3) P(Z > 2.575) 4) P(Z < 1.28) 5) Si X tiene una distribución normal con m
= 110 y s
= 4, calcular P(X < 116.58) y P(X > 116.58) 6) Si X tiene una distribución normal con m
= 30 y s
= 2, calcular P(X < 32.56) y P(X > 34.66) |
