CURVA NORMAL ESTANDAR

Matemáticamente hablando, la distribución normal estándar es la función de densidad,

 cuya gráfica es la curva en forma de campana que se bosqueja a continuación.

El área sombreada nos recuerda que P(Z>za)=a. Algunos valores específicos de esta relación se dan en la siguiente tabla en la que a es el área a la derecha de za  ó a la izquierda de -za.

a

0.1

0.05

0.01

0.005

za

1.28

1.645

2.33

2.575

Debido a la simetría,  el área bajo cada mitad de la curva es 0.5. Además, si X es una variable aleatoria distribuida normalmente con media m y desviación estándar s, entonces P(a<X<b) = P((a-m)/s < Z < (b-m)/s).

EJEMPLO A

Calcular P( –1.645 < Z < 1.645). Solución: Recordamos que la probabilidad es el área bajo la curva desde -1.645 hasta 1.645. De acuerdo con la tabla  el área a la izquierda de -1.645 es la misma que a la derecha de 1.645 o sea es a = 0.05. Por lo tanto, la probabilidad pedida sería el área total menos ambos extremos, es decir 1 – 0.05 -0.05= 0.90.

EJEMPLO B

La longitud L del largo del brazo derecho de un Tutsi tiene una distribución normal con m = 60 cms. y s = 5 cms. Encontrar el porcentaje de la población que tiene un brazo derecho más largo de  71.65 cms.

Solución: Se nos pide P(L> 71.65). Estandarizando tendríamos  P(L> 71.65)= P(Z> (71.65-60)/5)=P(Z> 2.33)=0.01. Por lo tanto, solo el 1% de los Tutsis tiene el brazo derecho más largo de  71.65 cms.

 

EJERCICIOS: Calcular las siguientes probabilidades.

1) P(Z > –2.575)

2) P(Z < –1.28)

3) P(Z > 2.575)

4) P(Z < 1.28)

5) Si X tiene una distribución normal con m = 110 y s = 4, calcular P(X < 116.58) y P(X > 116.58)

6) Si X tiene una distribución normal con m = 30 y s = 2, calcular P(X < 32.56) y P(X > 34.66)